АНАЛИЗ ФАКТОРНЫЙ
Источник: Социология. Словарь.
Источник: Большой словарь по социологии, проект www.rusword.com.ua
Источник: Социальная демография. Понятийно-терминологический словарь. – Махачкала ДГУ 2004. – 155 с.
Источник: Социология. Словарь.
Источник: Социологический словарь
Источник: Физическая Антропология. Иллюстрированный толковый словарь
Источник: Большой толковый социологический словарь
Факторный анализ - метод многомерного статистического анализа, позволяющий на основе экспериментального наблюдения признаков объекта выделить группу переменных, определяющих корреляционную взаимосвязь между признаками. Например, при проведении элементного анализа предельных углеводородов можно отдельно измерять массовую долю углерода и массовую долю водорода - два признака. Однако, эти признаки не являются независимыми (коррелируют между собой) и оба определяются длиной углеродной цепи. В этом и состоит суть факторного анализа - на основе исследования корреляционных взаимосвязей признаков находить причины, определяющие эти взаимосвязи.
В общем случае моделью описываемой взаимосвязи является набор линейных уравнений. Коэффициентами этих уравнений являются так называемые нагрузки, которые показывают "вес" каждого из факторов для данного признака. В матричном виде эта система уравнений может быть записана как X = S*F + E (1) где X - матрица признаков (или переменных), S - матрица нагрузок, F - матрица новых - "латентных" - переменных, E - матрица остатков. Это уравнение, по сути, описывает переход от первичных переменных (признаков) к новым переменным (факторам). Такое преобразование позволяет:
1. Выделить переменные, определяющие исследуемый набор признаков, проанализировать их число и природу
2. Сжать данные - вместо большого объема переменных система полностью описывается несколькими факторами. Так, например, спектр поглощения смеси красителей представляет собой массив данных - значений интенсивности для различных длин волн. Этот же спектр можно описать значениями концентраций компонентов смеси.
Факторный анализ часто применяется при решении задач классификации, а также при простроении многомерных градуировочных моделей. В качестве недостатков этого метода можно перичислить следующие:
1. Нет однозначного подхода к определению числа значимых переменных. Экспериментальные данные, как правило, содержат случайную ошибку, что вызывает появление дополнительных факторов, которые по сути бесполезны и описывают погрешность эксперимента. Существует множество способов отделения значимых переменных от незначимых, однако в кадом конкретном случае требуется индивидуальный подход.
2. Сложность интерпретации переменных - преобразование (1) можно провести бесконечным множеством способов, при этом выяснить физическую суть каждой новой переменной довольно сложно, а часто и невозможно. Так, например, если применить факторное преобразование к спектру смеси красителей, то каждая новая переменная, скорее всего, будет представлять собой не сами концентрации индивидуальных красителей, а некую линейную комбинацию концентраций.
Наиболее распространенные алгоритмы факторного анализа - метод главных компонент (principal component analysis, PCA) и разложение по сингулярным значениям (singular value decomposition, SVD).
Источник: Статистика. Краткий словарь терминов
Основными этапами факторного анализа являются первоначальное выделение факторов, вращение факторной структуры, ее интерпретация и факторное шкалирование. Первоначальное выделение факторов осуществляется методами собственно факторного анализа либо методом главных компонент.
На этом этапе определяются также размерность факторного пространства, факторная структура, информативность каждого фактора и структуры в целом. Факторная структура представляется в виде матрицы факторных нагрузок. Если первоначальная факторная структура недостаточно проста для содержательной интерпретации, она может быть подвергнута дополнительному вращению, вследствие чего информативность отдельных факторов может измениться. Различают ортогональные и неортогональные методы вращения. При ортогональном вращении факторы сохраняют свою статистическую независимость. Неортогональное (косоугольное) вращение допускает корреляцию между «вращенными» факторами, если это позволяет получить более простую для интерпретации структуру.
Факторная структура называется простой, если каждой измеряемой переменной соответствует только одна значительная по величине нагрузка. Интерпретация факторов (как до, так и после вращения) производится на основе матрицы факторных нагрузок, при этом учитываются значения нагрузок и их знаки. При интерпретации фактора принимаются во внимание, главным образом, те исходные переменные, которые имеют на него максимальные по абсолютной величине нагрузки. Если все значительные нагрузки имеют одинаковые знаки, фактор интерпретируется как «фактор размера», измеряющий «количество» некоторого свойства, определяемого с помощью соответствующих переменных. Если рассматриваются положительные и отрицательные нагрузки, фактор интерпретируется как «фактор формы», дифференцирующий объекты по обладанию некоторыми противоположными свойствами. Замечено, что во многих случаях в результате вращения факторы формы трансформируются в факторы размера. Факторное шкалирование предполагает вычисление значений факторов для каждого объекта из выборки и, тем самым, «перенос» объекта из пространства исходных переменных в факторное пространство.
Наиболее простым является регрессионное шкалирование, при котором значения исходных переменных суммируются с использованием специальных коэффициентов, называемых факторными весами. Лит. : Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. –М., 1982; Мучник И. Б., Жуковская В. М. Факторный анализ в социально-экономических исследованиях. –М., 1976; Интерпретация и анализ данных в социологических исследованиях. –М., 1987; Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. –М., 1989. О. В. Терещенко
Источник: Экономико-социологический словарь.
Указанное предположение можно выразить следующим образом:
(1)
где Fp – р-й общий фактор ( р меняется от 1 до m), m – количество общих факторов, Uj – j-й характерный фактор, аjр – факторная нагрузка р-го общего фактора на j-й признак, d. – факторная нагрузка j-ro характерного фактора. Факторы принято разделять на общие (Fp) и характерные (Uj). Отличие характерных факторов от общих заключается в том, что каждый характерный фактор имеет ненулевое значение только для одного наблюдаемого признака. Количество общих факторов (m) предполагается существенно меньшим количества исходных признаков (n). Обычные допущения, позволяющие придать указанной модели (1) статистич. смысл, заключаются в следующем: факторы представляют собой величины случайные (см.) с нормальным законом распределения, заданные в стандартной форме; характерные факторы независимы как между собой, так и по отношению к общим факторам. При этих предположениях появляется возможность определения с помощью различ. рода статистич. процедур факторных нагрузок по наблюдаемым значениям исходных признаков. Зная значения факторных нагрузок и исходных признаков, можно вычислить для каждого объекта значения факторов и тем самым перейти к более экономному описанию. Вместе с тем из указанных предположений следует, что А.ф. в его классич. варианте применим лишь для количественных данных (факторы предполагаются непрерывными и имеющими нормальное распределение). В рамках введенной линейной нормальной модели А.ф. (1) обычно предполагаются некоррелированными между собой не только характерные, но и общие факторы. В этом случае оказываются справедливыми следующие соотношения:
где аjp, акp, аlp, – факторные нагрузки р-го фактора соответственно на j-й, к-й и 1-й признаки, lower case «Sigma»kl – коэффициент корреляции между к-м и 1-м признаками.
В правой части соотношения (2) стоят квадраты факторных нагрузок. Каждое слагаемое определяет обусловленную соответствующим фактором долю дисперсии наблюдаемого признака, т. е. вся дисперсия может быть разделена на две части: дисперсию, обусловленную наличием общих факторов (сумму квадратов общих факторов 
принято называть общностью), и дисперсию, обусловленную вариацией характерного фактора (квадрат нагрузки характерного фактора d2 обычно называют характерностью). Из соотношения (3) следует, что коэффициент корреляции между двумя любыми исходными признаками выражается через факторные нагрузки общих факторов.
Т.обр., факторы могут интерпретироваться в качестве латентных признаков, детерминирующих значения наблюдаемых признаков и обусловливающих наличие корреляции между ними. Графически взаимоотношения между исходными признаками и факторами могут быть представлены следующим образом (стрелками обозначено направление связи. Если какая-то факторная нагрузка равна нулю, то соответствующая связь отсутствует):
При применении А.ф. к реальным данным все факторные нагрузки, к-рые в совокупности можно рассматривать как матрицу факторных нагрузок, и характерности являются неизвестными и должны быть определены. Эта задача решается на основе соотношений (2) и (3), в к-рые подставляются корреляции, определяемые по исходным данным. Вместе с тем из анализа соотношений (2) и (3) можно сделать вывод, что существует бесконечно много матриц факторных нагрузок, удовлетворяющих этим соотношениям и получаемых одна из другой в рез-те специальных преобразований (т.н. ортогональных вращений) системы факторов. Неоднозначность решения задачи нахождения матрицы факторных нагрузок обусловливает существование достаточно большого числа специальных способов поиска одного из допустимых решений (метод главных факторов, метод максимального правдоподобия, канонич. факторный анализ, а-факторный анализ и др.)- Вычислительные процедуры, отражающие содержание этих методов, реализованы в стандартных программах, к-рые входят в большинство пакетов статистич. анализа данных. Матрицы факторных нагрузок, получаемые в рез-те применения тех или иных методов А.ф., определяются содержащимися в их процедурах ограничениями на возможные комбинации искомых нагрузок (как предпосылки для нахождения единственного решения). Поэтому с формальной т.зр. различ. решения эквивалентны в том смысле, что они удовлетворяют в рамках постулируемой факторной модели всем ее исходным предложениям. В то же время при содержательной интерпретации эти решения могут оказаться существенно различными. Обычная процедура содержательной интерпретации матрицы факторных нагрузок заключается в следующем. Нагрузки, относящиеся к одному фактору, располагаются в порядке убывания абсолютных значений. Рассматриваются признаки, имеющие максимальные абсолютные значения факторных нагрузок. Далее анализируется семантика этой группы признаков, их "физический смысл". Выявляется общее содержание этой группы признаков, то общее свойство, к-рое, по мнению исследователя, объединяет признаки в одну группу. Это свойство (группа свойств) затем получает название и фигурирует в качестве фактора. Матрицы факторных нагрузок, получаемые на одном и том же массиве данных, могут отображать различн. свойства и аспекты изучаемого объекта. Поэтому, проводя А.ф., вообще говоря, не следует ограничиваться лишь интерпретацией первоначально найденного (первичного) решения. В то же время рассмотреть все существующие решения, очевидно, не представляется возможным. В рез-те возникает проблема выбора нескольких матриц факторных нагрузок, наиболее характерных и достаточных для адекватного отображения исследуемого объекта. Ее решение связано с возможностью ортогональных вращений системы факторов до получения наиболее естественно интерпретируемых решений. При факторизации реальных данных в качестве критерия отбора матриц, соответствующих таким решениям, наиболее часто используется требование достижения "простой структуры" Терстоуна в той или иной модификации. В решениях, удовлетворяющих этому требованию, каждый исходный признак должен представляться небольшим числом факторов, т. е. в соответствующей матрице факторных нагрузок большинство из них должно быть равно или близко к нулю, что значительно облегчает задачу интерпретации. Каждая из факторных моделей, соответствующих определенной матрице факторных нагрузок, представляет собой не что иное, как гипотезу относительно детерминации наблюдаемых переменных. Вопрос о выборе той или иной модели – вопрос о предпочтении одних моделей другим. Он не может быть решен вполне однозначно, его решение требует содержательного анализа. Выбор модели должен осуществляться с привлечением всех имеющихся данных об изучаемом круге явлений. Окончательное решение может быть принято только на основе последующего специального исследования адекватности модели, принятой в качестве рабочей гипотезы. После получения факторного решения естественно возникает вопрос о его общности. Распространение выводов о количестве и содержании факторов, полученных на одной выборке, на другие должно производиться крайне осторожно. Оно допустимо только в том случае, если набор данных, к-рый подвергается А.ф., представляет собой репрезентативную выборку из совокупности с многомерным нормальным распределением. А.ф. в рамках изложенной модели применим лишь к количественным данным. Вместе с тем факторизации в ряде случаев могут подвергаться и качественные данные. Способы такого применения А.ф. могут быть весьма различн. (см. Анализ факторный качественных данных). Уже накопленный опыт использования свидетельствует о возможности получения полезных рез-тов и в данном случае. Необходимо, однако, иметь в виду, что А.ф. качественных данных с еще большей определенностью, чем анализ количественных данных, должен рассматриваться в качестве средства генерации гипотез. Лит: Харман Г. Современный факторный анализ. М., 1972; Жуковская В.М., Мучник И.Б. Факторный анализ в социально-экономических исследованиях. М., 1976; Иберла К. Факторный анализ. М., 1980; Елисеева И.И., Рукавишников В.О. Логика прикладного статистического анализа. М., 1982; Викторов В.И. Факторный анализ// Интерпретация и анализ данных в социологических исследованиях. М., 1987. В.И. Викторов, С.А. Шашнов.
Источник: Российская социологическая энциклопедия