ПОКАЗАТЕЛЬ СРЕДНИЙ (СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА)

обобщенная характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака. Средняя величина является результатом абстрагирования от имеющихся у единиц совокупности различий. Если совокупность состоит из множества единиц какого-то определенного вида, то средняя, абстрагируясь от их индивидуальных различий, характеризует то общее, типичное, что присуще всей совокупности в целом. В средней величине компенсируются, погашаются случайные отклонения, присущие индивидуальным значениям, отражаются те общие условия, под влиянием которых, формировалась вся совокупность. Именно в этом проявляется в самом общем виде закон больших чисел. Вместе с тем, являясь обобщенной характеристикой совокупности в целом, средняя не подменяет конкретных индивидуальных величин. Т.о., средняя величина отражает общее и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных индивидуальных различий единиц совокупности. Однако для этого совокупность должна состоять из единиц, явлений, фактов одного и того же рода, т.е. быть качественно однородной, только тогда можно говорить об общем для всей совокупности «типе». Средние, исчисленные для явлений разного типа подобны оценке «средней температуры по больнице» и носят фиктивный характер, затушевывая реальную тенденцию. Поэтому метод средних не отделим от метода группировок, требуя обязательной оценки, помимо общих средних, и групповых средних величин. Исследователь, использующий средние в социально-экономическом анализе, должен четко представлять себе характер статистической совокупности, для которой исчислены эти средние, а также цели, которые он в этом анализе преследует, т.к. именно цели анализа определяют, может ли он воспользоваться самыми «общими» для всей совокупности средними величинами или должен перейти к «частным» средним для каждой отдельной группы, или даже подгруппы, входящей в совокупность. Средняя арифметическая –самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Чтобы рассчитать среднюю арифметическую, складывают величины всех вариантов и делят эту сумму на общее число единиц.
img width="313" height="200" src="/upload/content/1582184185_22.files/image153.jpg"
простой средней арифметической. Т.о., смысл средней арифметической чрезвычайно прост и ясен: она показывает, каким будет объем признака у каждого из элементов совокупности, если весь объем признака поровну разделить между ними. Если расчет средней величины проводится для сгруппированных данных, причем размеры групп различны, а для вариантов значений признака подсчитаны их частоты, то формула средней приобретает иной вид:
img width="310" height="159" src="/upload/content/1582184185_22.files/image154.jpg"
Легко заметить, что средняя арифметическая взвешенная не имеет принципиальных отличий от простой средней арифметической, просто суммирование f раз одного и того же варианта значений признака заменено в ней умножением соответствующего варианта на f. Однако можно видеть, что при этом величина средней зависит уже не только от величины вариантов, но и от соотношения их весов, т.е. от структуры совокупности. Чем большие веса имеют малые значения вариантов, тем меньше величина средней, и наоборот. Так, хотя в каждом городе живут люди всевозможных возрастов, средний возраст их нас. различен: он тем меньше, чем больше в городе детей. На это обстоятельство следует обращать особое внимание при анализе причин различий общих средних по совокупностям, существенно различающимся по своему составу. В ряде таких случаев приходится элиминировать влияние весов на общую среднюю, прибегая к различным видам «перевзвешивания» (напр., с использованием экономических индексов). Взвешивание далеко не всегда связано с подсчетом частот вариантов и, значит, с вариационным рядом. Часто отражаемый средней величиной совокупный результат получается не простым суммированием значений признака у единиц совокупности (как в приведенном примере), а суммированием произведений значений этого признака на некоторый другой. Пусть, напр., требуется оценить средний доход на 1 акцию по совокупности клиентов исходя из уровня среднего дохода по каждой их группе. Просто суммируя j значений среднего дохода на 1 акцию, мы не учтем, что размер инвестиционного портфеля по каждой группе брокеров был не одинаковым. Очевидно, надо умножить средний доход на 1 акцию на размер инвестиционного портфеля по каждой группе брокеров, а затем, сложив произведения, получить общий валовой доход держателей акций. Средний доход на 1 акцию мы получим, разделив валовой доход на общее количество акций в инвестиционном портфеле. Если средний доход на 1 акцию обозначить как х, а количество акций в инвестиционном портфеле как S, то валовой доход держателей акций будет равен Σx·S. Средний доход на 1 акцию должен быть получен по формуле:
img width="159" height="55" src="/upload/content/1582184185_22.files/image155.jpg"
которая отличается от (2) только заменой буквы f на букву S, что означает замену частот на содержательный признак (в приведенном примере – на объем валового дохода). Заметим, что если бы таким был средний доход на 1 акцию по всем группам брокеров, то общий валовой доход держателей акций совпал бы с фактическим (умножив полученную среднюю величину на общий размер инвестиционного портфеля ΣS, мы получаем общий валовой доход). Т.о., при расчете средней величины по значению связанного количественного показателя, значение признака как бы приписывается не самой единице совокупности, а связанной с ней другой единице. В нашем примере средний доход на 1 акцию как бы приписывается каждой акции инвестиционного портфеля, а средняя величина уже относится как бы к совокупности акций. Следует обратить внимание на методику расчета средней величины для моментного показателя, т.е. статистического показателя типа запаса. Эта средняя используется при оценке среднего уровня показателя в моментном динамическом ряду, т.н. средняя хронологическая для моментного динамического ряда. Для оценки средней при ее расчете используется прием двойного центрирования. Т.к. значение показателя характеризует точку, а не интервал времени, и вариация показателя между границами интервала не известна, то сначала рассчитываются частные интервальные средние – простые средние арифметические между соседними уровнями ряда. Затем на их основе рассчитывается общая средняя (на основе формулы средней арифметической простой – для равноотстоящих моментов времени, или взвешенной – для не равноотстоящих уровней моментного динамического ряда). Соответственно, простая средняя хронологическая имеет вид:
img width="563" height="119" src="/upload/content/1582184185_22.files/image156.jpg"
где t – расстояние между соседними моментами времени, измеренное в количестве периодов роста, для которых исчисляется среднее значение. Метод расчета средних величин используется в анализе динамики показателей для описания осн. тенденции изменения показателя, т.е. для сглаживания случайных колебаний значений признака. Этот метод выравнивания динамического ряда называется методом скользящей средней. Он широко используется в тех областях статистики, где регулярное статистическое наблюдение позволяет получать длинные временные ряды. Суть этого метода, заключается в замене фактических уровней динамического ряда рядом подвижных (скользящих) средних, которые последовательно рассчитываются для определенных интервалов осреднения и относятся к середине каждого из них. Отметим, что расчет средней величины предполагает проведение суммирования значений показателя, поэтому сглаживание колебаний методом скользящей средней возможно только для интервального динамического ряда. Для моментного ряда сначала необходимо провести переход к интервальным оценкам на основе средних значений варианта между соседними моментами наблюдения. После построения динамического ряда, который допускает укрупнение интервалов, производится выбор интервала осреднения и последовательный расчет скользящих средних. Напр., для сглаживания ряда динамики методом скользящей средней по 5-уровневому интервалу осреднения, необходимо сначала найти среднюю арифметическую для первых 5 уровней ряда (суммировать варианты значений наблюдаемого признака по 5 уровням ряда и результат разделить на 5 и полученным значением заменить вариант, стоящий в середине первого интервала осреднения, т.е. на третьем уровне ряда. Затем найдем среднюю арифметическую для следующих 5 уровней ряда (со 2 по 6 уровень ряда) и полученным значением средней заменим вариант, стоящий в середине второго интервала осреднения, т.е. на четвертом уровне ряда. И эту процедуру будем повторять до тех пор, пока в интервал осреднения не попадет конечный уровень наблюдаемого динамического ряда. Сглаживание указанным методом можно производить по интервалу осреднения любой длины в пределах анализируемого динамического ряда. Однако следует помнить, что, при любой длине интервала осреднения n, недостатком сглаживания ряда методом скользящей средней является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с исходным эмпирическим рядом на
img width="52" height="41" src="/upload/content/1582184185_22.files/image157.jpg"
уровня с каждой стороны, так как каждая из скользящих средних ставится в середину интервала осреднения, при этом начальные и конечные точки, соответственно, первого и последнего интервалов осреднения остаются не закрытыми. Так, в рассмотренном выше примере сглаженный ряд станет короче на 2 уровня в начале и 2 уровня в конце исходного ряда:
img width="94" height="46" src="/upload/content/1582184185_22.files/image158.jpg"
Сглаживание способом скользящей средней можно производить и по четному числу уровней в интервале осреднения. При этом приходится применять прием, называемый центрированием, т.к. последовательно рассчитанные скользящие средние не могут быть при этом соотнесены с определенным уровнем исходного ряда, а попадают как бы между ними. Суть центрирования состоит в том, что из каждой пары сглаженных скользящих средних рассчитывается средняя арифметическая, которая и относится к определенному временному уровню исходного ряда. Сглаженный ряд, состоящий из скользящих (подвижных) средних, показывает более плавное изменение показателя из в год, чем исходный ряд. Эффект сглаживания, устраняющего колебания уровней за счет случайных причин и выявляющего общую закономерность развития, наглядно виден при графическом изображении фактических и сглаженных данных. Эффект сглаживания тем выше, чем длиннее интервал осреднения. Однако динамика ряда тем лучше заметна, чем длиннее анализируемый динамический ряд. Поэтому, выбирая длину интервала осреднения, следует стремиться найти оптимальное соотношение между стремлением к сглаживанию колебаний, затушевывающих осн. закономерность динамики и укорачиванием исходного ряда (в предельном случае мы можем включить в интервал осреднения весь исходный динамический ряд, тогда всякие колебания вообще будут устранены, и график динамики ряда превратится в единственную точку на уровне среднего значения ряда, расположенную в его центре). Средняя арифметическая – всегда обобщенная характеристика величины варьирующего признака совокупности. Однако при ее исчислении вовсе не обязательно знать величину каждого варианта или иметь в своем распоряжении построенный на основе этих вариантов вариационный ряд. Во многих случаях средняя исчисляется на основе имеющихся в распоряжении исследователя суммарных значений осредняемого признака у всей совокупности объектов. Напр., средний размер пенсий исчисляется не по данным о величине пенсии каждого пенсионера, а путем деления пенсионного фонда на число получателей пенсий. Конечно, такие готовые суммы могли быть в свое время получены путем суммирования индивидуальных значений. Но это суммирование отделено во времени, в пространстве и в распределении работы между разными лицами и органами от вычисления средней. А в приведенном примере расчет средней на основе суммарного значения признака в совокупности производится в условиях, когда каждое отдельное значение варианта вовсе не фиксируется, а устанавливается только общая сумма целевых расходов внебюджетных фондов. Также никогда не подсчитывается, сколько валовой продукции произвел тот или иной рабочий, но средняя выработка работника пр-тия, отдельного вида экономической деятельности или пром. произ-ва в целом – один из осн. качественных показателей работы соответствующих подразделений и рассчитывается путем деления валовой продукции на число работников. Такие средние величины мало отличаются от относительных величин интенсивности – как по способу расчета, так и по своему аналитическому значению. Более того, можно сказать, что вообще между средними и относительными величинами не существует четкой границы, т.к. средняя величина – отношение двух абсолютных величин, т.е. относительная величина. Если совокупность численности n состоит из нескольких частей численности п1,п2 , то сумма значений признака по совокупности ΣX также состоит из слагаемых, равных суммам значений признака по этим частям. Иначе говоря, общая средняя равна средней из частных средних, взвешенной по численности соответственных частей совокупности. Т.о., в этом случае мы можем перейти к формуле средней взвешенной (2). Это правило имеет очень большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа. Приведем (без доказательства) осн. свойства средней арифметической и укажем, как они могут быть использованы для упрощения расчетов. Осн. свойство средней следует из ее содержания и статистической структуры: сумма отклонений отдельных вариантов от их средней величины равна нулю:
img width="267" height="108" src="/upload/content/1582184185_22.files/image159.jpg"
Иначе это свойство формулируется: сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений (в средней величине взаимно погашаются положительные и отрицательные отклонения от нее отдельных вариантов значений признака). В расчетах полезно использовать и другие свойства средней величины: 1) среднее значение постоянной величины равно ей самой: а = а, если а = const; 2) постоянный множитель может быть вынесен за знак средней: . Т.о., чтобы упростить расчет средней арифметической, можно разделить все варианты на одно и то же число, а полученную среднюю умножить затем на это же число; 3) средняя суммы (разности) равна сумме (разности) средних:
img width="270" height="85" src="/upload/content/1582184185_22.files/image160.jpg"
Т.о., для упрощения расчетов из всех вариантов ряда можно вычесть (или прибавить к ним) одно и то же число, а затем к полученной ax = ax средней прибавить (или отнять от нее) это же число; 4) из свойства 2 следует, что средняя не меняется, если пропорционально изменить веса (частоты). Особенно удобно бывает при расчетах средней заменять частоты частостями. По указанному свойству средняя при этом не меняется, т.к .все веса уменьшены при этом в Σf раз. Кроме средней арифметической часто встречаются случаи, когда среднюю необходимо рассчитать по формуле средней гармонической. Простая средняя гармоническая имеет вид:
img width="307" height="163" src="/upload/content/1582184185_22.files/image161.jpg"
Рассмотрим пример расчета средней гармонической. Пусть в течение 8-часового рабочего дня 5 редакторов издательства заняты правкой однотипных документов. На 1 документ каждый из них потратил времени, соответственно: 20 минут, 16 минут, 20 минут, 15 минут, 24 минуты. Их coвокупнoe рабочее время составит 8 час х 5 чел == 40 ч, или 40 час х 60 = 2400 мин. Выработка при этом составит у первого редактора 480:20=24 док., у второго 480:16=30 док. и т. д., а всего 130 документов. Т.е. общая выработка составляла:
img width="245" height="50" src="/upload/content/1582184185_22.files/image162.jpg"
Чтобы получить среднюю затрату времени на 1 документ (т.е. трудоемкость правки 1 документа), разделим на эту сумму общее рабочее время, причем сократим делимое и делитель на общий множитель 480:
img width="237" height="60" src="/upload/content/1582184185_22.files/image163.jpg"
Легко видеть, что эта средняя отвечает формуле (5). И только при такой затрате времени на 1 документ всеми редакторами они вместе дали бы тот же фактический результат, который наблюдался в действительности, т.е. 130 документов. Соответствие формуле (5) было бы еще яснее, если бы время считалось не в часах и минутах, а в рабочих днях, т.е. равнялось бы у всех редакторов 1 (тогда множителя 480 не было бы вовсе). Если бы вместо этого была бы вычислена средняя арифметическая (по формуле 1 или 2), то результат был бы лишен смысла, т.к. арифметическая средняя равна:
img width="272" height="46" src="/upload/content/1582184185_22.files/image164.jpg"
Но если бы такова была затрата времени на 1 документ у всех редакторов, то они не успели бы выправить 130 документов, а сделали бы только 2400:19=126 документов. Следует обратить внимание, что если заданные нормы времени относить не к совокупности работников, а совокупности документов, то это означало бы, что на 24 документа, прочитанные первым редактором, затрачено по 20 мин; на 30, прочитанных вторым, по 16 мин и т.д. Общую затрату времени на все 130 документов можно представить в виде: 20·24 + 16·30 + 20·24 + 15·32 + 24·20 = = 2400 минут
img width="304" height="122" src="/upload/content/1582184185_22.files/image165.jpg"
как и было сделано выше по формуле (5) с использованием информации о трудозатратах. Но теперь этот результат представлен как взвешенная средняя арифметическая из данных об индивидуальной выработке отдельных редакторов. Из приведенного примера видно, что гармоническую среднюю можно выразить и как арифметическую, но с весами, обратно пропорциональными признаку (24 = 4800:20 и т.д.). Если задана совокупность работников и затраченное ими рабочее время, чтобы не нарушить общую выработку, которая обратно пропорциональна признаку, среднюю надо было вычислить по формуле гармонической. Но если уже задана совокупность вычитанных документов (130), то для них, чтобы не нарушить общую затрату времени, надо вычислять среднюю арифметическую из его затрат на каждый документ. Теперь представим, что при тех же затратах времени на 1 документ эти пятеро редакторов работали разное время: 8 час, 6 часов 40 минут, 7 часов, 8 часов или в минутах: 480; 400; 420; 420; 480. Среднюю трудоемкость работы с 1 документом получим, разделив общую сумму времени на общую выработку:
img width="286" height="59" src="/upload/content/1582184185_22.files/image166.jpg"
Эта средняя отвечает формуле (6). Весом здесь служит время работы. Если по двум частям совокупности (численности n1 и п2) даны средние гармонические x1, х2, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить:
img width="128" height="75" src="/upload/content/1582184185_22.files/image167.jpg"
т.е. как взвешенную гармоническую среднюю из частных гармонических средних. Кроме арифметической и гармонической, в статистике используется и ряд других средних величин. Выше мы видели, что, хотя средняя абстрагируется от индивидуальных значений признака, она должна рассчитываться исходя из сохранения некоторого общего свойства совокупности (как выше общей выработки всех редакторов, общего валового дохода всех держателей акций и т.п.). Это свойство совокупности не должно изменяться, если все индивидуальные значения заменены их средней величиной, что вытекает из определяющего, или основного свойства средней величины. Смотря по тому, как общее количественное выражение изучаемого свойства совокупности зависит от значений признака, следует вычислять среднюю величину того или иного вида. Если оно является просто суммой индивидуальных значений признака (как в примере расчета по индивидуальной выработке отдельных редакторов), то вычислять надо простую среднюю по формуле (1). Из нее хорошо видно, что общая формула статистической средней имеет вид:
img width="311" height="197" src="/upload/content/1582184185_22.files/image168.jpg"
т.е. замена всех значений их средней не меняет величины Σφ(x). Это равенство называется уравнением статистической средней. Вид функции φ определяет вид средней. Он зависит от качественной природы совокупности и определяющего свойства. Напр., если через n равных по длине проводников круглого сечения пропускается одинаковой силы ток, то потеря электроэнергии в них зависит только от сечения. Если х – его диаметр, то потеря обратно пропорциональна его пл. сечения, т.е., как известно квадрату диаметра и ее можно считать равной φ(x)=A/х2 (А – постоянная для всех проводников величина). Средняя соответствующего вида равна:
img width="295" height="71" src="/upload/content/1582184185_22.files/image169.jpg"
Замена всех индивидуальных х этой средней величиной не изменила бы общей потери электроэнергии. В статистике особенно важны различные модификации степенной средней, т. е. средней, построенной из различных степеней вариантов: арифметическая (m=1), гармоническая (m = -1), геометрическая (m=0), квадратическая (m=2), кубическая (m=3) и другие, для которых φ(x)= x m . Формула средней квадратической применяется, напр., при расчете стандартного отклонения σпоказателя, который позволяет определить меру вариации и, следовательно, однородности в совокупности:
img width="214" height="71" src="/upload/content/1582184185_22.files/image170.jpg"
Непосредственно заданные значения признака в анализе часто заменяются их отклонениями от средней, разделенными на их среднее квадратическое отклонение, т.е. величинами:
img width="67" height="46" src="/upload/content/1582184185_22.files/image171.jpg"
Это т.н. нормированные значения признака. В типологической группировке, производимой на основании количественного признака, границы, отделяющие друг от друга качественные типы, не являются произвольными. Они должны отвечать узловым значениям, в которых количественные изменения переходят в новое качество. В отличие от этого в группировке, для получения вариационного ряда, кажется, что величина интервалов и, значит, границы между ними могут быть вообще любыми. Правда, и вариационный ряд в известных случаях может быть использован для выделения типов методом вторичной группировки. Но обычно при его построении преследуется только цель характеристики количественной вариации. Если при этом вся задача сводится к получению изложенных характеристик вариаций, то, чем уже интервал, тем они будут получены более точными. Еще лучше, если они будут получены просто по совокупности индивидуальных значений, что возможно для средней арифметической, дисперсии и всех моментов распределения, порядковых статистик. Но, как было показано ранее, вариационный ряд нужен и сам по себе в качестве группировки, позволяющей проводить обобщения, т.е. переходить от индивидуальных, часто случайных свойств отдельных единиц совокупности к характеристикам общей, закономерной тенденции, присущей тем или иным типам единиц. Излишнее сужение интервалов ряда распределения привело бы к случайным колебаниям частот в них, плохой обозримости ряда в целом. С другой стороны, излишнее укрупнение интервалов не позволяет видеть характерные черты вариации, затушевывает ее объединением в один интервал слишком различающихся единиц совокупности. Средняя кубическая (k=3) отклонения вариантов признака от среднего уровня ряда дает возможность измерения асимметрии, а средняя четвертой степени является основой оценки эксцесса распределения. Эти показатели дают представление о средней величине отклонения каждого из вариантов от их средней величины и относятся к системе величин, имеющих общее математическое выражение и носящих название моментов распределения. В этой системе находят свое место и осн. обобщенная характеристика вариации в ряду – дисперсия. Геометрическую среднюю (степенная средняя при m= 0) применяют в случае, если общий объем признака получается путем перемножения его индивидуальных значений (напр., как в случае формирования базисного коэффициента роста как произведения последовательных цепных коэффициентов роста). Ее получают из общей формулы степенной средней путем разрешения неопределенности с использованием правила Лопиталя. При этом она принимает вид (для несгруппированных данных):
img width="319" height="286" src="/upload/content/1582184185_22.files/image172.jpg"
По формуле (12) степенная средняя рассчитывается, если каждое значение встречается в совокупности один раз, т.е. для не сгруппированных данных. Если же значения признака повторяются с определенной для каждого из них частотой (в случае использования сгруппированных данных), формула степенной средней принимает общий вид степенной средней взвешенной величины:
img width="322" height="465" src="/upload/content/1582184185_22.files/image173.jpg"
Свойство мажорантности степенной средней выполняется и для простых средних, и для взвешенных средних. Однако статистический вес, как мы видели, понятие более широкое, чем частота в вариационном ряду. Вес в более широком смысле появляется, когда в функции имеется варьирующий множитель. Так, для перехода от среднего дохода на 1 акцию к валовому доходу надо его умножить на размер инвестиционного портфеля, различающийся по отдельным группам. Если бы в нашем примере проводники имели разную длину l, то общая потеря электроэнергии была бы пропорциональна
img width="54" height="46" src="/upload/content/1582184185_22.files/image174.jpg"
Уравнение средней в этом случае имело бы вид:
img width="254" height="186" src="/upload/content/1582184185_22.files/image175.jpg"
При выборе вида средней определяющий принцип – соответствие вида средней содержанию цели и задач исследования, качественной природе совокупности и характеру имеющихся в распоряжении исследователя исходных величин. Основополагающее правило при этом заключается в том, что величины, являющиеся числителем и знаменателем средней, должны иметь определенный логический смысл. Только при этом условии понимание статистической структуры среднего показателя позволит исследователю правильно интерпретировать его значение, адекватно используя информацию о содержании формирующих его величин.