ПОКАЗАТЕЛИ ФОРМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

группа относительных величин, которые характеризуют особенности формы распределения единиц однородной совокупности, по значениям варьирующего признака, с точки зрения асимметрии и эксцесса этого распределения. В статистическом анализе используются показатели асимметрии и показатели эксцесса. В качестве эталона, при оценке особенностей формы распределения, используется закон нормального распределения. При этом однородность совокупности предполагает, что распределение является одномодальным. Показатели асимметрии характеризуют форму распределения единиц однородной совокупности по значениям варьирующего признака относительно характерного для нормального распределения состояния симметрии. При правосторонней асимметрии большая часть единиц совокупности смещена относительно центра распределения вправо (см. рис.1). Следовательно, при росте значений признака количество единиц с соответствующими вариантами значений сначала быстро и резко увеличивается, а затем, после превышения некоторого центрального значения, снижается медленно и плавно. При левосторонней асимметрии – наоборот, наблюдается сначала медленный и плавный рост количества единиц, а затем – быстрое и резкое снижение. Т.о., асимметрия распределения означает отклонение кривой плотности распределения от состояния симметрии, которое определяется на основе одинаковых значений показателя плотности распределения (или частоты, или частости – для вариационных рядов с равными интервалами) у любой пары вариантов значений признака, находящихся на одинаковом расстоянии от центра рассматриваемого эмпирического распределения. При этом в различных показателях асимметрии в качестве эталонной оценки центра распределения используются либо среднее, либо мода, либо медиана, поскольку у симметричного нормального распределения эти показатели имеют одинаковое значение, равное математическому ожиданию.
img width="541" height="237" src="/upload/content/1582184185_22.files/image176.jpg"
Коэффициент асимметрии по Линдбергу (К.а.Л.) – показатель меры асимметрии распределения признака в совокупности, который рассчитывается как отклонение от 0,5 доли единиц в совокупности со значениями признака выше среднего:
img width="316" height="116" src="/upload/content/1582184185_22.files/image177.jpg"
В симметричном распределении среднее значение совпадает с медианой и поэтому доля единиц со значениями признака ниже среднего составляет ровно 0,5. Т.о., равенство нулю К.а.Л. указывает, что асимметрия отсутствует. При правосторонней асимметрии, когда среднее значение превышает медиану, доля единиц совокупности со значениями признака ниже среднего превышает 0,5, и тем самым К.а.Л. имеет положительную величину. В случае, если доля единиц совокупности со значениями признака ниже среднего превышает 0,5, то К.а.Л. становится отрицательным, что означает наличие левосторонней асимметрии. По своей абсолютной величине К.а.Л. в пределе не может превышать 0,5. Коэффициент асимметрии по Пирсону (К.а.П.) – показатель меры асимметрии распределения признака в совокупности, основанный на расхождении между модальным значением и средним значением признака в совокупности. К.а.П. рассчитывается по формуле:
img width="314" height="110" src="/upload/content/1582184185_22.files/image178.jpg"
В симметричном распределении среднее значение совпадает с модой и поэтому равенство К.а.П. нулю означает отсутствие асимметрии. Положительная величина К.а.П. говорит о наличии правосторонней асимметрии, а отрицательная величина К.а.П. – о наличии левосторонней асимметрии. Характер асимметрии (правоили лево-) определяется тем, с какой стороны от модального значения находятся значения признака большинства единиц совокупности. Когда это большинство имеет значения признака больше моды (As>0), т.е. находится от нее справа по числовой оси, асимметрия является правосторонней. Когда это большинство имеет значения признака меньше моды (As<0), т.е. находится от нее слева по числовой оси, асимметрия является левосторонней. В более общем виде мера асимметрии может оцениваться и другим коэффициентом:
img width="299" height="92" src="/upload/content/1582184185_22.files/image179.jpg"
Для симметричного распределения AS =0: принято считать, что если AS > 0,5, то асимметрия имеет значительный характер, а при AS < 0,25 асимметрия незначительна. Показатели эксцесса – характеризуют форму кривой плотности распределения единиц однородной совокупности по значениям варьирующего признака относительно зоны эксцесса (т.е. всплеска, выпуклости): участка кривой, ограниченного слева и справа точками перегиба. Чем больше единиц расположено в зоне эксцесса, тем более плавной будет форма кривой распределения в центральной части, между точками перегиба – и наоборот (см. рис. 2).
img width="583" height="287" src="/upload/content/1582184185_22.files/image180.jpg"
img width="316" height="488" src="/upload/content/1582184185_22.files/image181.jpg"
Если же Ex L < 0, то распределение является плосковершинным. Коэффициент эксцесса по Пирсону (К.э.П.) построен на оценке, для эмпирической совокупности, средней величины отклонения каждого из индивидуальных значений признака от общего среднего в совокупности. Обозначим μ4 центральный момент четвертого порядка, который, в самом общем случае, может использоваться для характеристики эксцесса:
img width="144" height="62" src="/upload/content/1582184185_22.files/image182.jpg"
Для нормального закона распределения центральный момент четвертого порядка μ4 равен 3. Тогда К.э.П. может быть задан формулой:
img width="136" height="63" src="/upload/content/1582184185_22.files/image183.jpg"
где σ – среднее квадратическое отклонение. Для нормального распределения К.э.П. равен 0. Кривая плотности рассматриваемого эмпирического распределения является, в области макс. кривой плотности распределения, более пологой, чем у нормального распределения, если Ex<0, и более крутой, если Ex>0. См. также Показатель средний.